Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，則$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范圍為（　�。�

• A． [0，1]
• B． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]
• D． [-$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由橢圓方程可得橢圓的長軸長及焦距，再由余弦定理求得$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范圍．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，得a²=4，b²=1，
∴c²=a²-b²=3，
則a=2，2a=4，c=$\sqrt{3}$，2c=2$\sqrt{3}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則m+n=2a=4，
再設(shè)∠F₁PF₂=θ，
則$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=cosθ=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2{c）}^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-12}{2mn}$
=$\frac{16-12-2mn}{2mn}=\frac{2}{mn}-1$．
∵mn$≤（\frac{m+n}{2}）^{2}=4$，
∴$\frac{2}{mn}≥\frac{1}{2}$，則$\frac{2}{mn}-1≥-\frac{1}{2}$，
當(dāng)P為橢圓長軸兩端點(diǎn)時(shí)，cosθ有最大值為1．
∴$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$的取值范圍為[$-\frac{1}{2}，1$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用及焦點(diǎn)三角形問題，這類題是常考類型，考查靈活，特別是對(duì)曲線的定義和性質(zhì)考查的很到位，是中檔題．