Question

3．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）滿足：（1）焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）；（2）離心率為$\frac{5}{3}$，且求得雙曲線C的方程為f（x，y）=0．若去掉條件（2），另加一個(gè)條件求得雙曲線C的方程仍為f（x，y）=0，則下列四個(gè)條件中，符合添加的條件共有（　�。�
①雙曲線C上任意一點(diǎn)P都滿足||PF₁|-|PF₂||=6；
②雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為4；
③雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y²=6x的焦點(diǎn)重合；
④雙曲線C的漸進(jìn)線方程為4x±3y=0．

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 利用雙曲線性質(zhì)求解．

解答 解：對(duì)于①，∵||PF₁|-|PF₂||=2a=6
∴a=3 
又∵焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0）
∴c=5
∴離心率e=$\frac{5}{3}$，故①符合條件；
對(duì)于②，雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為4，
∴b=2，a=$\sqrt{25-4}$=$\sqrt{21}$，
∴離心率e=$\frac{5}{\sqrt{21}}$，故②不符合條件；
對(duì)于③，雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線y²=6x的焦點(diǎn)重合，
∴a=$\frac{3}{2}$，e=$\frac{5}{\frac{3}{2}}$=$\frac{10}{3}$，故③不符合條件；
對(duì)于④，∵近線方程為4x±3y=0 
∴$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，
又∵c=5，c²=a²+b²，∴a=3
∴離心率e=$\frac{5}{3}$，故④符合條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．