Question

已知數列{a_n}是等差數列，{b_n}是等比數列，其中a₁=b₁=1，a₂≠b₂，且b₂為a₁，a₂的等差中項，a₂為b₂，b₃的等差中項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=

1

n

（a₁+a₂+…+a_n）（b₁+b₂+…+b_n），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設公比及公差分別為q，d，由2b₂=a₁+a₂，2a₂=b₂+b₃，解得q=2，d=2，由此能求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）由cn=

1

n

•n2•(2n-1)=n•2n-n，利用分組求和法和錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設公比及公差分別為q，d，
由2b₂=a₁+a₂，2a₂=b₂+b₃，
得q=1，d=0或q=2，d=2，（3分）
又由a₂≠b₂，故q=2，d=2（4分）
∴an=2n-1，bn=2n-1（6分）
（2）∵cn=

1

n

•n2•(2n-1)=n•2n-n（8分）
∴Sn=(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+…+n)（9分）
令Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1②
由②-①得Tn=(n-1)•2n+1+2，（11分）
∴Sn=(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+2．（12分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．