Question

12．當(dāng)x＞0時(shí)，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≤1-2p恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\frac{1}{4}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$]
• C． [-$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． [$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 利用x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0）求解，注意等號成立的條件，有條件x＞0可將$\frac{x}{{x}^{2}+1}$轉(zhuǎn)化求解，求出表達(dá)式的最值，即可得到p的范圍．

解答 解：不等式$\frac{x}{{x}^{2}+1}$≤1-2p，
可得2p≤1-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號成立，
所以$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≥1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，$1-\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的最小值為$\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{4}$]．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)最值的應(yīng)用、基本不等式，要注意不等式成立的條件．