Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx，曲線y=f（x）過(guò)P（1，0），且在P點(diǎn)處的切線斜率為2
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-2x+2，求g（x）在其定義域上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）求得f（x），g（x）的解析式，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值

解答 解：（1）f（x）=x+ax²+blnx的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1+2a+$\frac{x}$（x＞0），
由題意可得f（1）=1+a=0，f′（1）=1+2a+b=2，
得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）證明：f（x）=x-x²+3lnx，g（x）=f（x）-2x+2=3lnx-x²-x+2（x＞0），g′（x）=$\frac{3}{x}$-2x-1=-$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	極大值	↘

∴g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
可得g（x）_max=g（1）=-1-1+2=0，無(wú)最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查運(yùn)算能力．