Question

12．（1）用分析法證明：$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$$＞2\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$；
（2）用反證法證明：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）尋找使不等式成立的充分條件，要是不等式成立，只要11+2$\sqrt{6}$•$\sqrt{5}$＞11+2$•2\sqrt{2}•\sqrt{3}$，只要證$\sqrt{30}$＞$\sqrt{24}$，即證30＞24；
（2）假設(shè)$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$這三個數(shù)成等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，能推出6=12（矛盾 ）．

解答 證明：（1）要證 $\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$$＞2\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$，只要證11+2$\sqrt{6}$•$\sqrt{5}$＞11+2$•2\sqrt{2}•\sqrt{3}$，
只要證$\sqrt{30}$＞$\sqrt{24}$，即證30＞24． 
而30＞24顯然成立，故原不等式成立．
（2）假設(shè)：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$這三個數(shù)成等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴20=2+6+2 $\sqrt{12}$，∴12=2 $\sqrt{12}$，∴6=12（矛盾），故假設(shè)不成立，
∴$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$這三個數(shù)不可能成等差數(shù)列．

點評 本題考查用分析法證明不等式，反證法證明不等式，用反證法證明不等式的關(guān)鍵是推出矛盾．分析法證明不等式關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件．