Question

1．已知函數(shù)y=x²-2x-11在x=2處的切線方程為y=f（x），數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求nS_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)求導(dǎo)可知切線斜率k=2，進(jìn)而由點(diǎn)斜式可知切線方程，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)記g（x）=x³-14x²（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)、結(jié)合一元二次不等式考慮g（x）的單調(diào)性，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，y′=2x-2，
∴切線斜率k=2•2-2=2，
又∵當(dāng)x=2時(shí)，y=2²-2•2-11=-11，
∴切線過(guò)（2，-11），
∴切線方程為：y+11=2（x-2），
整理得：y=2x-15，
∴a_n=f（n）=2n-15，
∴數(shù)列{a_n}是以-13為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴S_n=$\frac{n（-13+2n-15）}{2}$=n²-14n；
（2）依題意nS_n=n³-14n²，
記g（x）=x³-14x²（x＞0），則g′（x）=3x²-28x，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{28}{3}$）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{28}{3}$，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
∴g（x）在區(qū)間（0，$\frac{28}{3}$）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（$\frac{28}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=$\frac{28}{3}$時(shí)取最小值，
∵g（9）=9³-14•9²=-405，g（10）=10³-14•10²=-400，
∴當(dāng)n=9時(shí)nS_n取最小值，為-405．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．