Question

10．已知△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且2c•cos²$\frac{A}{2}$=b+c．
（1）判斷△的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍；
（2）如圖，三角形ABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，AC=2，BC=1，求O，B間距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理、二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡已知式子，再由角的范圍求出cosC的值，由特殊角的余弦值求出C，判斷出三角形的形狀，由誘導(dǎo)公式、輔助角公式化簡sinA+sinB，利用角的范圍和正弦函數(shù)的形狀求出sinA+sinB的范圍；
（2）設(shè)∠ACO=x、過點(diǎn)B作BD垂直與x軸，由圖象和條件求出B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出|0B|²，利用平方關(guān)系、二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式化簡，由x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出O，B間距離的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，2c•cos²$\frac{A}{2}$=b+c，
由正弦定理得2sinC•$\frac{1+cosA}{2}$=sinB+sinC，
∴sinC+sinCcosA=sin（A+C）+sinC，
∴sinCcosA=sinAcosC+sinCcosA，則sinAcosC=0，
又A、C∈（0，π），
則cosC=0，∴C=$\frac{π}{2}$；
則△ABC是直角三角形，
∴sinA+sinB=sinA+cosB=$\sqrt{2}$$sin（A+\frac{π}{4}）$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜A+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，則$\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（A+\frac{π}{4}）≤1$，
∴sinA+sinB的范圍是（1，$\sqrt{2}$）；
（2）設(shè)∠ACO=x，x∈（0，$\frac{π}{2}$），則CO=2cosx，
過點(diǎn)B作BD垂直與x軸，D為垂足，則∠BOC=$\frac{π}{2}$-x，
即B（2cosx+sinx，cosx），
∴|0B|²=（2cosx+sinx）²+cos²x=4cos²x+4sinxcosx+1
=4×$\frac{1+cos2x}{2}$+2sin2x+1=$2\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$+3，
∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}＜2x+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，則$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，
∴$-2＜2\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）≤2\sqrt{2}$，則$1＜|0B{|}^{2}≤3+\sqrt{2}$，
∴O，B間距離的取值范圍是（1，$\sqrt{2}+$1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、二倍角的余弦公式、兩角和的正弦公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡、變形能力，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．