Question

7．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，與C右支交于點(diǎn)A，若|OF|=|OA|．則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，由題意可得△AOF為等腰三角形，即有F關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)F（-c，0），漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
過左焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，與C右支交于點(diǎn)A，若|OF|=|OA|，
可得△AOF為等腰三角形，
即有F關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為A（m，n），
即有$\frac{n}{m+c}$=-$\frac{a}$，
且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{1}{2}$•$\frac{b（m-c）}{a}$，
解得m=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
將A（$\frac{^{2}-{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），即（$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
代入雙曲線的方程可得$\frac{（{c}^{2}-2{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，即有e²=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和對(duì)稱思想，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．