Question

18．已知P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩焦點(diǎn)，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，可得$a=2\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$．設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．再利用橢圓的定義、余弦定理可得mn，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，可得$a=2\sqrt{2}$，b=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{2}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n．
則m+n=4$\sqrt{2}$，$cos\frac{π}{3}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2mn}$，
化為：mn=8．
∴S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}mnsin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．