Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC=$\sqrt{2}$．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在棱PB上確定一點(diǎn)E，使截面AEC把該幾何體分成的兩部分PDCEA與EACB的體積比為2：1；
（3）在（2）的條件下，求二面角E-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DC⊥AD，DC⊥PA，由此能證明平面PAD⊥平面PCD．
（2）作EF⊥AB于F點(diǎn)，則EF⊥平面ABCD，設(shè)EF=h，由V_PDCEA：V_EACB=2：1，解得h=$\frac{1}{2}$，從而得到E為PB的中點(diǎn)．
（3）連結(jié)FC，F(xiàn)D，F(xiàn)D與AC交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出EF⊥AC，F(xiàn)O⊥AC，EO⊥AC，從而∠EOF是二面角E-AC-B的平面角，由二面角E-ACB與二面角E-AC-P互余，能求出二面角E-AC-P的余弦值．

解答 證明：（1）∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴DC⊥PA，
∵AD∩PA=A，∴DC⊥平面PAD，
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
解：（2）作EF⊥AB于F點(diǎn)，
在△ABP中，PA⊥AB，∴EF∥PA，
∴EF⊥平面ABCD，
設(shè)EF=h，AD=$\sqrt{P{D}^{2}-P{A}^{2}}$=1，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•AD=1$，
則${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h=\frac{1}{3}h$，
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{（1+2）×1}{2}×1$=$\frac{1}{2}$，
由V_PDCEA：V_EACB=2：1，得（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}h$）：$\frac{1}{3}h$=2：1，解得h=$\frac{1}{2}$，
EF=$\frac{1}{2}$PA，故E為PB的中點(diǎn)．
（3）連結(jié)FC，F(xiàn)D，F(xiàn)D與AC交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，
由（2）知EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，
∵ADCF為正方形，∴FO⊥AC，
∵FO∩EF=F，
∴AC⊥平面EFO，∴EO⊥AC，
∴∠EOF是二面角E-AC-B的平面角，
∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
∴二面角E-ACB與二面角E-AC-P互余，
設(shè)二面角E-AC-P的平面角為θ，
則cosθ=sin∠EOF，
在Rt△EOF中，EF=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，EO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
cosθ=sin$∠EOF=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角E-AC-P的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．