Question

2．討論函數(shù)f（x）=（a-1）lnx+ax²+1的單調(diào)性．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增、導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減對a分3種情況進行討論

解答 解：f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a-1}{x}$+2ax=$\frac{2{ax}^{2}+a-1}{x}$，
①當a-1≥0時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；
②當a≤0時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；
③當0＜a＜1時，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，
當x∈（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）時，f′（x）＞0；
x∈（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$）上單調(diào)增加，在（ $\sqrt{\frac{1-a}{2a}}$，+∞）單調(diào)減．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，考查分類討論思想，是一道中檔題．