分析 (Ⅰ)推導出B1D⊥平面ABC,B1D⊥AC,BC⊥AC,從而AC⊥平面BCC1B1,由此能證明平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
(Ⅱ)連結B1C,推導出B1C⊥BC1,AC⊥BC1,從而BC1⊥平面ACB1,由此能證明BC1⊥AB1.
(Ⅲ)作BH⊥AB1于H,連結C1H,則∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角,由此能求出二面角B-AB1-C1的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵B1在底面ABC上的射影為D,∴B1D⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴B1D⊥AC,
∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,
∵B1D∩BC=D,∴AC⊥平面BCC1B1,
∵AC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.
(Ⅱ)連結B1C,∵在平行四邊形BCC1B1中,BC=CC1,∴平行四邊形BCC1B1是菱形,
∴B1C⊥BC1,
∵AC⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,
∴AC⊥BC1,
∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,
∵AB1?平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
解:(Ⅲ)作BH⊥AB1于H,連結C1H,
∵AB1⊥BC1,BH∩BC1=B,∴AB1⊥平面BHC1,
∴∠BHC1是二面角B-AB1-C1的平面角,
設BC=2,則BC1=2$\sqrt{3}$,B1A=2$\sqrt{2}$,BH=$\frac{\sqrt{14}}{2}$,
由Rt△BB1H≌Rt△C1B1H,得${C}_{1}H=BH=\frac{\sqrt{14}}{2}$,
∴cos∠BHC1=$\frac{B{H}^{2}+{C}_{1}{H}^{2}-B{{C}_{1}}^{2}}{2BH•{C}_{1}H}$=$\frac{\frac{7}{2}+\frac{7}{2}-12}{2×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}}$=-$\frac{5}{7}$.
∴二面角B-AB1-C1的余弦值為-$\frac{5}{7}$.
點評 本題考查面面垂直的證明,考查線線垂直的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
科目:高中數(shù)學 來源:2016-2017學年江西吉安一中高二上段考一數(shù)學(理)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,正方體的棱長為1,點,,且,有以下四個結論:
①;②;③平面;④與是異面直線.其中正確命題的序號是_______.(注:把你認為正確命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 16 | B. | 8 | C. | 2$\sqrt{13}$ | D. | 6 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{8}{3}$ | B. | 4 | C. | 2 | D. | $\frac{16}{3}$ |
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