Question

13．如圖，ABEDEFC為多面體，平面ABED⊥平面ACED，點(diǎn)O在線段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
（1）證明：平面OCB∥平面EFD；
（2）求直線OD與平面OEF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，即可證明平面OCB∥平面EFD；
（2）求出D到平面OEF的距離，即可求直線OD與平面OEF所成角的余弦值．

解答 （1）證明：∵△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形，
∴OB∥DE，OC∥DF，
∵OB?平面EFD，DE?平面EFD，OC?平面EFD，DF?平面EFD，
∴OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，
∵OB∩OC=O，
∴平面OCB∥平面EFD；
（2）解：取OD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則FG⊥AD，EG=FG=$\sqrt{3}$
∵平面ABED⊥平面ACED，平面ABED∩平面ACED=AD，
∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥EG，
∴EF=$\sqrt{6}$，∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)D到平面OEF的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴直線OD與平面OEF所成角的正弦值=$\frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線OD與平面OEF所成角的余弦值=$\sqrt{1-\frac{15}{25}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、面面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．