Question

已知f（x）=（a+1）x²+3x+1，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（　�。�

A．a(chǎn)＜1

B．a(chǎn)＞-6

C．a(chǎn)＞0

D．a(chǎn)＜-5

Answer 1

分析：利用零點(diǎn)存在性定理，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則f（0）f（1）＜0，就得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，解該不等式，求出ua的范圍即可．

解答：解：①當(dāng)a+1=0，即a=-1時(shí)，f（x）=3x+1，令f（x）=0，得，x=-

1

3

∴函數(shù)的零點(diǎn)是-

1

3

，不符合條件．
②當(dāng)a+1＞0時(shí)，即a＞-1時(shí)，函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸是x=-

3

2(a+1)

∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，∴f（1）＞f（0），，而f（0）=1＞0，∴f（1）＞0，
∴f（x）的圖象在（0，1）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴（x）在區(qū)間（0，1）沒(méi)有個(gè)零點(diǎn)，不符合條件．
③當(dāng)a+1＜0時(shí)，即a＜-1時(shí)，函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸是x=-

3

2(a+1)

∵

3

2(a+1)

＜0，∴-

3

2(a+1)

＞0，
∵f（0）=1＞0，∴只需f（1）＜0即可
∴a+5＜0，a＜-5
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，做題時(shí)要靈活運(yùn)用定理，善于轉(zhuǎn)化．