Question

3．過(guò)雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)垂直于雙曲線(xiàn)實(shí)軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于P，Q兩點(diǎn)，我們稱(chēng)線(xiàn)段PQ為雙曲線(xiàn)的通徑，若雙曲線(xiàn)通徑長(zhǎng)是焦距的兩倍，則此雙曲線(xiàn)的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 求出PQ的長(zhǎng)，利用線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度是焦距的兩倍，可得$\frac{^{2}}{a}$=2c，從而可求雙曲線(xiàn)的離心率．

解答 解：不妨設(shè)P（c，y₀），代入雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得y₀=±$\frac{^{2}}{a}$．
∵線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度是焦距的兩倍，
∴$\frac{^{2}}{a}$=2c，
∴c²-a²=2ac，
∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．