Question

18．已知f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$，再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱
（1）求實(shí)數(shù)a和f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的值域
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知若f（A）=0，b=1，三角形ABC的面積S=$\sqrt{3}$，求c和sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x-2，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x），又g（x）關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱，從而可得：g（0）=g（$\frac{π}{6}$），即可解得a，得到f（x）的解析式，由周期公式可求f（x）的最小正周期；由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（2）由（1）及已知可得4sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0，解得A的值，又由S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，可解得c的值，由cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及余弦定理可得a的值，由正弦定理即可求得sinC的值．

解答 解：（1）f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x-2，…1分
向左平移$\frac{π}{4}$，再向上平移2個(gè)單位后得：g（x）=2sin2x+2$\sqrt{3}$acos2x，…2分
又g（x）關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱，從而可得：g（0）=g（$\frac{π}{6}$），可得：2$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}+\sqrt{3}a$，解得a=1…4分
∴f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，
∴f（x）的最小正周期為π，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴可得：2x∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≤\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的值域?yàn)閇-6，0]…6分
（2）由f（A）=4sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0，得A=$\frac{π}{6}$（A=$\frac{π}{2}$要舍去），
又由三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，可得c=4$\sqrt{3}$…9分
由cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=1+48-2×$1×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=37，a=$\sqrt{37}$，
由正弦定理：$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$可得sinC=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$=$\frac{2\sqrt{111}}{37}$…12分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性，有界性，對(duì)稱性，考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，屬于基本知識(shí)的考查．