【題目】已知橢圓C 的右焦點為F,右頂點為A,設(shè)離心率為e,且滿足,其中O為坐標原點.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)過點的直線l與橢圓交于M,N兩點,求△OMN面積的最大值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)

【解析】試題分析:1)根據(jù),解得c值,即可得橢圓的方程;

(Ⅱ)聯(lián)立l與橢圓C的方程,得,

, .所以,又Ol的距離.所以△OMN的面積求最值即可.

試題解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦半距為c,則|OF| = c,|OA| = a,|AF| =

所以,其中,又,聯(lián)立解得

所以橢圓C的方程是

(Ⅱ)由題意直線不能與x軸垂直,否則將無法構(gòu)成三角形.

當直線lx軸不垂直時,設(shè)其斜率為k,那么l的方程為

聯(lián)立l與橢圓C的方程,消去y,得

于是直線與橢圓有兩個交點的充要條件是Δ=,這顯然大于0

設(shè)點,

由根與系數(shù)的關(guān)系得, .所以,又Ol的距離

所以△OMN的面積 ,那么,當且僅當t = 3時取等.

所以△OMN面積的最大值是

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一,尤其是弦中點問題,弦長問題,可用韋達定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.

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【題目】已知函數(shù) .

(1)若,討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)是否存在實數(shù),對任意, , 有恒成立,若存在,求出的范圍,若不存在,請說明理由;

(3)記,如果是函數(shù)的兩個零點,且, 的導(dǎo)函數(shù),證明: .

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A.[1,5]
B.[3,11]
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【題目】已知函數(shù)f(x)= +3(﹣1≤x≤2).
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(1)寫出的極坐標方程;

(2)若為曲線上的兩點,且,求的范圍.

(Ⅱ)已知函數(shù) .

(1) 時,解不等式

(2)若對任意,存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】(Ⅰ)平面直角坐標系中,傾斜角為的直線過點,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.

(1)寫出直線的參數(shù)方程(為常數(shù))和曲線的直角坐標方程;

(2)若直線交于、兩點,且,求傾斜角的值.

(Ⅱ)已知函數(shù).

(1)若函數(shù)的最小值為5,求實數(shù)的值;

(2)求使得不等式成立的實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知曲線C1,C2的極坐標方程分別為ρ=2cosθ, ,射線θ=φ, 與曲線C1交于(不包括極點O)三點A,B,C.

)求證: ;

)當時,求點B到曲線C2上的點的距離的最小值.

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【題目】已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一個元素,求a的值并求出這個元素.

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【題目】如圖,在多面體中,底面是邊長為2的菱形, ,四邊形是矩形,平面平面.

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