Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線的斜率為3，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=3，從而求出a的值；（2）問題轉(zhuǎn)化為a≤x²在[1，2]恒成立，求出y=x²在[1，2]的最小值即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-\frac{2a}{x}+2x$，
所以有-2a+2=3，
∴a=-1；
（2）由題意得：
$f'（x）=-\frac{2a}{x}+2x≥0$在[1，2]恒成立，
即a≤x²在[1，2]恒成立，
∴a≤（x²）_min=1，
∴a≤1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，切線的斜率問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．