Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

設(shè)， 兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，是的垂直平分線(xiàn).

（1）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)？證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為2時(shí)，求在軸上截距的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）兩點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離相等，

∵拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)是軸的平行線(xiàn)，，依題意不同時(shí)為0．

∴上述條件等價(jià)于

∵  ，∴上述條件等價(jià)于．

即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).…………………………………6分

（2）設(shè)在軸上的截距為，依題意得的方程為；過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程可寫(xiě)為，所以滿(mǎn)足方程 ,  ∴.

 

為拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式，即.

 

設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，.

 

由點(diǎn)在上, 得，于是.

 

故即得在軸上截距的取值范圍為.………………………………12分

 

【解析】略