已知是橢圓E：的兩個焦點，拋物線的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上，

（1）求橢圓E的方程；

（2）如圖，過點的動直線交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

(1)(2)AB為直徑的圓恒過這個定點(0,1).

【解析】

試題分析：(1)求出拋物線的焦點得到橢圓的兩個焦點(即C值),求其中一個焦點關于直線的對稱點，再利用點點之間直線距離最短求出直線y＝上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P的坐標（即為對稱點與另一個焦點連線與直線y＝的交點）,即得橢圓上一點的坐標,便可求出a,b,c得到橢圓的標準方程.

(2)直線的斜率為k,通過聯(lián)立方程式,韋達定理等用斜率k來建立圓的方程,進而判斷關于參數(shù)k的圓是否經(jīng)過定點(即是否有相應點的坐標使得參數(shù)k的系數(shù)為0即可)

試題解析：

（1）由拋物線的焦點可得：，點關于直線的對稱點為

故，因此，橢圓方程為

（2）假設存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點。

當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ①

當AB軸時，以AB為直徑的圓的方程為： ②

由①②知定點M。下證：以AB為直徑的圓恒過定點M。設直線，代入，有。設，則。

則，

在y軸上存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個定點.

考點：橢圓 定點問題

 

練習冊系列答案
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