Question

如圖，在空間直角坐標系中有棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點M是線段DC₁上的動點，設(shè)M（0，x，x），點M 到直線AD₁的距離為d，則d關(guān)于x的函數(shù)d=f（x）的圖象大致為（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,空間位置關(guān)系與距離

分析：要求出d關(guān)于x的函數(shù)d=f（x），可以先設(shè)出AD上一點P的坐標，把|PM|表示出來，則只要滿足PM⊥AD，則其成為點M 到直線AD₁的距離，再結(jié)合P在AD上，把d表示成關(guān)于x的函數(shù)，再據(jù)解析式求圖．

解答：解：由已知A（1，0，0），D₁（0，0，1），AD₁=（-1，0，1），
設(shè)P（m，0，n）是直線AD₁上任一點，則由P、A、D₁三點共線得，

PA

=λ

AD1

，
即（1-m，0，-n）=λ（-1，0，1），化簡得m+n=1①，
設(shè)|

PM

|表示點M到直線AD₁的距離，則

PM

⊥

AD1

，

PM

=(-m，x，x-n)∴

PM

•

AD1

=0
即（-m，x，x-n）•（-1，0，1）=0即m-n+x=0②，
聯(lián)立①②解得m=

1-x

2

，n=

1+x

2

，∴

PM

=(

x-1

2

，x，

x-1

2

)，x∈（0，1）
∴|

PM

|=

2×( x-1 2 )2+x2

=

2

2

3x2-2x+1

=

2

2

3(x- 1 3 )2+ 2 3

，x∈（0，1）
當x=0時，y=

2

2

，所以過點(0，

2

2

)，由二次函數(shù)t=3(x-

1

3

)2+

2

3

，x∈（0，1）的圖象和性質(zhì)可知，該函數(shù)在（0，

1

3

）上遞減，在（

1

3

，1）上遞增．
故選A

點評：此題是利用函數(shù)知識解決立體幾何中的距離問題，一般采用坐標法．先利用空間中的平行、垂直、角度等性質(zhì)，找到相關(guān)量之間的關(guān)系，最終將所求的量用一個變量來表示，得到函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的知識求解．