Question

已知實數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，若存在實數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立，則實數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：實數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，利用基本不等式的性質可得ab≤4，即1≤ab≤4．通過換元：令ab=t，則t∈[1，4]，f（t）=t+

1

t

，利用導數(shù)研究其單調性可得：當t=4時，函數(shù)f（t）取得最大值，f（4）=

17

4

．由于存在實數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立?c≤(ab+

1

ab

)max．即可得出．

解答： 解：∵實數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，
∴4≥2

ab

，
化為ab≤4，當且僅當a=b=2時取等號．
∴1≤ab≤4．
令ab=t，則t∈[1，4]．
令f（t）=t+

1

t

，
f′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

≥0，
∴函數(shù)f（t）在t∈[1，4]單調遞增，
∴當t=4時，函數(shù)f（t）取得最大值，f（4）=

17

4

．
∵存在實數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立，
∴c≤(ab+

1

ab

)max=

17

4

．
∴c的取值范圍是(-∞，

17

4

]．
故答案為：(-∞，

17

4

]．

點評：本題考查了基本不等式的性質、換元法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．