Question

已知實(shí)數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，若存在實(shí)數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：實(shí)數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，利用基本不等式的性質(zhì)可得ab≤4，即1≤ab≤4．通過(guò)換元：令ab=t，則t∈[1，4]，f（t）=t+

1

t

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值，f（4）=

17

4

．由于存在實(shí)數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立?c≤(ab+

1

ab

)max．即可得出．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a≥1，b≥1，且a+b=4，
∴4≥2

ab

，
化為ab≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．
∴1≤ab≤4．
令ab=t，則t∈[1，4]．
令f（t）=t+

1

t

，
f′(t)=1-

1

t2

=

t2-1

t2

≥0，
∴函數(shù)f（t）在t∈[1，4]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=4時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值，f（4）=

17

4

．
∵存在實(shí)數(shù)c使得ab+

1

ab

≥c成立，
∴c≤(ab+

1

ab

)max=

17

4

．
∴c的取值范圍是(-∞，

17

4

]．
故答案為：(-∞，

17

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、換元法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．