Question

已知直角坐標(biāo)系中，圓O的方程為x²+y²=r²（r＞0），兩點(diǎn)A（4，0），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程；
（2）若對(duì)于軌跡C上的任意一點(diǎn)P，總存在過(guò)點(diǎn)P的直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求r的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)P（x，y），通過(guò)

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），得到

x-4=-4λ y=4λ

，即可求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C．
（2）設(shè)N（x₀，y₀），P（t，4-t），（0≤t≤4），求出M坐標(biāo)，利用兩個(gè)圓的交點(diǎn)，推出方程組，求出公共弦方程，轉(zhuǎn)化原方程組有解等價(jià)于點(diǎn)（0，0）到直線l：2tx+2（4-t）y+t²+（4-t）²-3r²=0的距離小于或等于r，轉(zhuǎn)化二次函數(shù)在區(qū)間[0，4]上上的最值問(wèn)題，即可求解范圍．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），
∴

x-4=-4λ y=4λ

  
消去λ并注意到0≤λ≤1可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C即為線段AB，
方程為：x+y-4=0 （0≤x≤4）

（2）設(shè)N（x₀，y₀），P（t，4-t），（0≤t≤4），
則M（

x0+t

2

，

y0+4-t

2

）
方程組

x02+y02=r2 ( x0+t 2 )2+( y0+4-t 2 )2=r2

即

x02+y02=r2 (x0+t)2+(y0+4-t)2=4r2

有解 
將方程組兩式相減得：2tx₀+2（4-t）y₀+t²+（4-t）²-3r²=0  ）
原方程組有解等價(jià)于點(diǎn)（0，0）到直線l：2tx+2（4-t）y+t²+（4-t）²-3r²=0的距離小于或等于r，
即

|t2+(4-t)2-3r2|

4t2+4(4-t)2

≤r  
整理得：（2t²+16-8t-3r²）²≤（4t²+4（4-t）²）r²．
即（2t²+16-8t-r²）（2t²-8t+16-9r²）≤0
也就是，r²≤2t²-8t+16≤9r²對(duì)任意的0≤t≤4恒成立      
根據(jù)二次函數(shù)y=2t²-8t+16的圖象特征可知，在區(qū)間[0，4]上，
當(dāng)t=0或者t=4時(shí)，（2t²-8t+16）_max=16；
當(dāng)t=2時(shí)，（2t²-8t+16）_min=8    
所以

16

9

≤r2≤8，

4

3

≤r≤2

2

  
特別的，當(dāng)r=2

2

時(shí)，圓x²+y²=8與x+y-4=0切于點(diǎn)（2，2），
此時(shí)過(guò)C上的點(diǎn)P（2，2）沒(méi)有合乎要求的直線，
故r≠2

2

，
即所求r的范圍為[

4

3

，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．