Question

已知數(shù)列{a_n}，設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，并且滿足a₁＝1，對(duì)任意正整數(shù)n，

有S_n＋1＝4a_n＋2.

(1)令b_n＝a_n＋1－2a_n(n＝1,2,3，…)，證明{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)求c_n＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

 解：(1)a_n＋1＝S_n＋1－S_n＝(4a_n＋2)－(4a_n－1＋2)

＝4(a_n－a_n－1) (n∈N_＋，n≥2)．

由題意知b_n＝a_n＋1－2a_n，

∴b_n＋1＝a_n＋2－2a_n＋1.

∴b_n＋1＝4(a_n＋1－a_n)－2a_n＋1＝2a_n＋1－4a_n＝2(a_n＋1－2a_n)，

∴{b_n}是等比數(shù)列，公比q＝2.

又∵S₂＝4a₁＋2，∴a₁＋a₂＝4a₁＋2，

∴1＋a₂＝4＋2，∴a₂＝5，∴b₁＝a₂－2a₁＝5－2＝3，

∴b_n＝b₁·q^n－1＝3·2^n－1

(2)∵c_n＝＝2^n－1，

∴T_n＝＋＋＋…＋