Question

證明對于任意給定的向量a、b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

Answer 1

解析:向量的�？赊D(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運算.

證明:要證||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,

只需證(|a|-|b|)²≤|a+b|²≤(|a|+|b|)²,

即證|a|²+|b|²-2|a|·|b|≤(a+b)²

≤|a|²+|b|²+2|a|·|b|,

只需證|a|²+|b|²-2|a|·|b|≤|a|²+|b|²+2a·b

≤|a|²+|b|²+2|a|·|b|,

只需證0-2|a|·|b|≤2a·b≤2|a|·|b|,

只需證-|a|·|b|≤|a|·|b|·cos〈a,b〉≤|a|·|b|,

只需證-1≤cos〈a,b〉≤1.

∵-1≤cos〈a,b〉≤1成立,

∴||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|成立.