Question

13．為研究冬季晝夜溫差大小對某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響，某農(nóng)科所記錄了5組晝夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù)，得到如表資料：

組號	1	2	3	4	5
溫差x（°C）	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y（顆）	23	25	30	26	16

該所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗．
（1）若選取的是第1組與第5組的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)第2組至第4組的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$；
（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（1）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（參考公式：$\widehatb$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\widehata$=$\overline y$-$\widehatb$$\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出x，y的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（2）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結(jié)果和所給的數(shù)據(jù)進行比較，得到所求的方程是可靠的．

解答 解：（1）由題意：$\overline x=\frac{11+13+12}{3}=12$，$\overline y=\frac{25+30+26}{3}=27$，$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^3{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^3{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{（{x_1}-\overline x）（{y_1}-\overline y）+（{x_2}-\overline x）（{y_2}-\overline y）+（{x_3}-\overline x）（{y_3}-\overline y）}}{{{{（{x_1}-\overline x）}^2}+{{（{x_2}-\overline x）}^2}+{{（{x_3}-\overline x）}^2}}}$=$\frac{（11-12）×（25-27）+（13-12）×（30-27）+（12-12）×（26-27）}{{{{（11-12）}^2}+{{（13-12）}^2}+{{（12-12）}^2}}}=\frac{5}{2}$．
$\widehata=\overline y-\widehatb\overline x=27-\frac{5}{2}×12=-3$，
故回歸直線方程為：$\widehaty=\frac{5}{2}x-3$．
（2）當x=10時，$\widehaty=\frac{5}{2}×10-3=22$，|22-23|=1＜2，
當x=8時，$\widehaty=\frac{5}{2}×8-3=17$，|17-16|=1＜2，
∴（1）中所得的回歸直線方程可靠．

點評 本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，是一個綜合題目．