Question

5．平面直角坐標系中，以原點O為圓心，r（r＞0）為半徑的定圓C₁，與過原點且斜率為k（k≠0）的動直線交于P、Q兩點，在x軸正半軸上有一個定點R（m，0），P、Q、R三點構(gòu)成三角形，求：
（1）△PQR的面積S₁的表達式，并求出S₁的取值范圍；
（2）△PQR的外接圓C₂的面積S₂的表達式，并求出S₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，tanα=k，sinα=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，即可求出△PQR的面積S₁的表達式，并求出S₁的取值范圍；
（2）求出△PQR的外接圓C₂的圓心坐標，可得△PQR的外接圓C₂的半徑的平方，即可得到△PQR的外接圓C₂的面積S₂的表達式，并求出S₂的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，tanα=k，sinα=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴△PQR的面積S₁=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$rm=$\frac{|k|mr}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴0＜S₁＜mr；
（2）PQ的垂直平分線方程為y=-$\frac{1}{k}$x，OR的垂直平分線方程為x=$\frac{m}{2}$，
聯(lián)立可得△PQR的外接圓C₂的圓心坐標為（$\frac{m}{2}$，-$\frac{m}{2k}$），
∴△PQR的外接圓C₂的半徑的平方=$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}}$，
∴S₂=π•（$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}}$）=$\frac{{m}^{2}π}{4}$（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）＞$\frac{{m}^{2}π}{4}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查面積的計算，屬于中檔題．