Question

18．正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，滿足S_n+S_n-1=3a_n²+2（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過S_n+S_n-1=3a_n²+2與S_n+1+S_n=3a_n+1²+2作差可知a_n+1+a_n=3（a_n+1²-a_n²）=3（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n），進而數(shù)列{a_n}是以1為首項、$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵S_n+S_n-1=3a_n²+2（n≥2），
∴S_n+1+S_n=3a_n+1²+2（n≥2），
兩式相減得：a_n+1+a_n=3（a_n+1²-a_n²）=3（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴3（a_n+1-a_n）=1，即a_n+1-a_n=$\frac{1}{3}$，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項、$\frac{1}{3}$為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+$\frac{1}{3}$（n-1）=$\frac{n+2}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．