Question

如圖，P，Q是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若它們同時(shí)從點(diǎn)A（1，0）出發(fā)，沿逆時(shí)針方向作勻角速度運(yùn)動(dòng)，其角速度分別為

π

3

，

π

6

（單位：弧度/秒），M為線段PQ的中點(diǎn)，記經(jīng)過x秒后（其中0≤x≤6），f（x）=|OM|．
（Ⅰ）求y=f（x）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）將f（x）圖象上的各點(diǎn)均向右平移2個(gè)單位長度，得到g=g（x）的圖象，求函數(shù)g=g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的單調(diào)性,任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）依題意可知∠POA=

π

3

x，∠QOA=

π

6

x，∠MOQ=

π 3 x- π 6 x

2

=

π

12

x，從而求得f（x）=|OM|=cos∠MOQ 的解析式．
（Ⅱ）依題意可知g（x）=cos（

π

12

x-

π

6

）（2≤x≤8），由2kπ≤

π

12

x-

π

6

≤2kπ+π，求得x的范圍，可得函數(shù)g=g（x）在[2，8]上的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）依題意可知∠POA=

π

3

x，∠QOA=

π

6

x．
∵|OP|=|OQ|=1，∴|OM|=|OQ|•cos∠MOQ=cos∠MOQ，
∴∠MOQ=

π 3 x- π 6 x

2

=

π

12

x，∴f（x）=|OM|=cos

π

12

x（0≤x≤6），
即 f（x）=cos

π

12

x，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依題意可知g（x）=cos

π

12

（x-2）=cos（

π

12

x-

π

6

）（2≤x≤8），
由2kπ≤

π

12

x-

π

6

≤2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函數(shù)g=g（x）在[2，8]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，8]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．