Question

13．如圖所示的一塊長方體木料中，已知AB=BC=4，AA₁=1，設E為底面ABCD的中心，且$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AD}$（0≤λ≤$\frac{1}{2}$），則該長方體中經(jīng)過點A₁、E、F的截面面積的最小值為$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先找到經(jīng)過點A₁、E、F的截面為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形面積公式結(jié)合二次函數(shù)知識求得截面的最小值．

解答 解：設截面為A₁FMN，顯然A₁FMN為平行四邊形，過A點作AG⊥MF與G，則MG⊥A₁G，作MK⊥AD與K，
根據(jù)題意AF=4λ，則CM=DK=4λ，KF=4-8λ，MF=$\sqrt{{4}^{2}+（4-8λ）^{2}}$，
易知Rt△MKF∽Rt△AGF，∴$\frac{KM}{MF}=\frac{AG}{4λ}$，∴AG=$\frac{16λ}{MF}$，
∴A₁G²=AG²+AA₁²=$\frac{（16λ）^{2}}{M{F}^{2}}$+1，
∴S_截面²=MF²×A₁G²=MF²×（$\frac{（16λ）^{2}}{M{F}^{2}}$+1）=16²λ²+4²+（4-8λ）²
=32（10λ²-2λ+1）=320（λ-$\frac{1}{10}$）²+$\frac{144}{5}$（0≤λ≤$\frac{1}{2}$），
∴當λ=$\frac{1}{10}$時，S_截面²=取得最小值$\frac{144}{5}$，此時S_截面為$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征．本題中的長方體是一直棱柱，所以棱AA₁⊥平面ABCD，則AA₁⊥AE．