Question

1．如圖，在矩形ABCD中，BC=2，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，且沿AF，BF分別將△AFD與△BFC折起來(lái)，使其頂點(diǎn)C與D重合于點(diǎn)P，若所得三棱錐P-ABF的頂點(diǎn)P在底面ABF內(nèi)的射影O恰為EF的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐P-ABF的體積；
（2）求折起前的△BCF與側(cè)面BPF所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （ I ）證明PF⊥面PAB，求出棱錐的底面面積與高，即可利用${V}_{P-ABF}^{\;}=\frac{1}{3}{S}_{△ABF}^{\;}•PO$求解體積．
（II）法一：先求二面角P-BF-O．作OH⊥BF于H，連PH，說(shuō)明∠PHO為二面角P-BF-O的平面角，解Rt△PHO中，即可求解二面角C-BF-P的大�。�
法二：設(shè)平面PBF與平面BCF的夾角為φ，求解法向量，求解平面BCF的一個(gè)法向量，利用數(shù)量積求解二面角為鈍二面角．

解答 解：（I）依題設(shè)：$\left\{\begin{array}{l}PF⊥PA\\ PF⊥PB\\ PA∩PB=P\end{array}\right.$⇒PF⊥面PAB
又依題設(shè)：O為EF的中點(diǎn)，且PO⊥EF⇒PE=PF，故△PEF是斜邊為EF=2的等腰Rt△，
故$PO=1，PE=PF=\sqrt{2}$，且$AB=DC=2PF=2\sqrt{2}$，
又ABCD為矩形，且E，F(xiàn)為邊的中點(diǎn)EF⊥AB，
故$V_{P-ABF}^{\;}=\frac{1}{3}S_{△ABF}^{\;}•PO=\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×1=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
（II） 法一：因所求二面角與二面角P-BF-O互補(bǔ)，故先求二面角P-BF-O．作OH⊥BF于H，連PH，
則由PO⊥面ABCD知：OH為PH的射影⇒PH⊥BF⇒∠PHO為二面角P-BF-O的平面角，
在Rt△PBE中，由PH•BF=PF•PB易求得：$PH=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，又PO=1，
故在Rt△PHO中，由$sin∠PHO=\frac{PO}{PH}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$⇒∠PHO=$\frac{π}{3}$，
由此即知二面角C-BF-P的大小為$\frac{2π}{3}$．
法二：設(shè)平面PBF與平面BCF的夾角為φ，并設(shè)
其法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則由$\overrightarrow{BF}$=$（-2，-\sqrt{2}，0）$，

$\overrightarrow{PF}$=（-1，0，-1），以及$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}-2x-\sqrt{2}y=0\\-x-z=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{2}x\\ z=-x\end{array}\right.$
取x=1，得平面PBF
的一個(gè)法向量為：$\overrightarrow{n}=（1，-\sqrt{2}，-1）$；而平面BCF的一個(gè)法向量為：$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，
故由$cosϕ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{1}{2}$$⇒φ=\frac{π}{3}$．而所求二面角為鈍二面角，
故其大小為$π-φ=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體的體積以及二面角的求法，考查空間想象能力、邏輯推理能力以及計(jì)算能力．