Question

2．過雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)P做直線PA，PB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k₁，k₂，若直線AB過原點(diǎn)，k₁•k₂=2，則雙曲線的離心率e等于（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由于A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以A，B一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答 解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-y}{{x}_{1}-x}•\frac{-{y}_{1}-y}{-{x}_{1}-x}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
∴該雙曲線的離心率e=$\sqrt{1+2}$=$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入化簡，應(yīng)注意雙曲線幾何量之間的關(guān)系．