Question

在三棱錐P-ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都為直角三角形，試指出△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：設(shè)：AP=a，BP=b，CP=c．
（1）當(dāng)∠APB=∠APC∠=BPC=90°時(shí)，
△ABC為銳角三角形，因?yàn)椋?br/>AB²=a²+b²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²＞AC²，cosA＞0，則A為銳角，同理B，C也是銳角．
（2）當(dāng)∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°時(shí)，
△ABC為直角三角形，因?yàn)椋?br/>AB²=b²-a²，AC²=a²+c²，BC²=c²+b²
AB²+BC²=AC²，cosA=0，則A為直角．
（3）當(dāng)∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°時(shí)，
△ABC為鈍角三角形，因?yàn)椋?br/>AB²=b²+a²，AC²=a²-c²，BC²=c²-b²
AC²+BC²＜AB²，cosA＜0，則A為鈍角．
分析：先設(shè)：AP=a，BP=b，CP=c．再分三種情形討論：（1）當(dāng)∠APB=∠APC∠=BPC=90°時(shí)，（2）當(dāng)∠PAB=90°，∠APC=∠=BPC=90°時(shí)，（3）當(dāng)∠APB=90°，∠PCA=∠PBC=90°時(shí)，最后利用余弦定理或勾股定理即可進(jìn)行判斷．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，以及分類討論思想和空間想象力，屬于中檔題．