Question

11．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
（1）求橢圓G的焦點坐標；
（2）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．直接求解即可．
（2）由題意推出|m|≥1．通過當m=1時，求出|AB|=$\sqrt{3}$；當m=-1時，|AB|=$\sqrt{3}$；當|m|＞1時，設切線方程為y=k（x-m），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理弦長公式以及圓的圓心到直線的距離等于半徑，轉(zhuǎn)化求解|AB|，利用基本不等式求出最值即可．

解答 （本題12分）
解：（1）由已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．得a=2，b=1，∴c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓G的焦點坐標為（$-\sqrt{3}，0$），（$\sqrt{3}，0$）．
（2）由題意橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓G于A，B兩點．
知，|m|≥1．
當m=1時，切線l的方程為x=1，點A、B的坐標分別為（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時|AB|=$\sqrt{3}$；
當m=-1時，同理可得|AB|=$\sqrt{3}$；
當|m|＞1時，設切線方程為y=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．
設A，B兩點兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又由l于圓x²+y²=1相切，得$\frac{|km|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，即m²k²=k²+1．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$，
由于當m=±1時，|AB|=$\sqrt{3}$，
所以|AB|=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$，m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
因為|AB|=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}≤2$，當且僅當m=$±\sqrt{3}$時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，圓錐曲線的最值問題的處理方法，考查設而不求，轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力．