Question

16．某企業(yè)2015年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因?yàn)槠髽I(yè)的設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從2015年開始，此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元．如果進(jìn)行技術(shù)改造，2016年初該企業(yè)需一次性投入資金600萬(wàn)元，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元，此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元．
（1）設(shè)從2016年起的第n年（以2016年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的年純利潤(rùn)為a_n萬(wàn)元；進(jìn)行技術(shù)改造后，在未扣除技術(shù)改造資金的情況下的年利潤(rùn)為b_n萬(wàn)元，求a_n和b_n；
（2）設(shè)從2016年起的第n年（以2016年為第一年），該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A_n萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B_n萬(wàn)元，求A_n和B_n；
（3）依上述預(yù)測(cè)，從2016年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)將超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求a_n和b_n；
（2）根據(jù)從2016年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，可得A_n的表達(dá)式；根據(jù)2016年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（2016年為第1年）的利潤(rùn)為500（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）萬(wàn)元，可得B_n的表達(dá)式；
（3）作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從2015年開始，此后每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬(wàn)元，組成等差數(shù)列，a_n=500-20n；在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，預(yù)計(jì)2016年的利潤(rùn)為750萬(wàn)元，此后每年的利潤(rùn)比前一年利潤(rùn)的一半還多250萬(wàn)元，則b_n=500（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）；
（2）依題設(shè)，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）]-600=500n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100．
（3）B_n-A_n=（500n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100）-（490n-10n²）
=10n²+10n-$\frac{500}{{2}^{n}}$-100=10[n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10]．
因?yàn)楹瘮?shù)y=x（x+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10在（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10≤12-$\frac{50}{8}$-10＜0；
當(dāng)n≥4時(shí)，n（n+1）-$\frac{50}{{2}^{n}}$-10≥20-$\frac{50}{16}$-10＞0．
∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，B_n＞A_n．
答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．