【題目】已知， 是的導(dǎo)函數(shù).

（1）求的極值；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立；

（3）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意得處，進(jìn)而，分和兩種情況討論，即可求解；

（Ⅱ）由，則要證 ，只需證.

令，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的性質(zhì)，即可作出證明．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知恒成立，可得，分和兩種情況討論，即可求解實(shí)數(shù)的值．

試題解析：

（Ⅰ）， ， ，

當(dāng)時(shí)， 恒成立， 無極值；

當(dāng)時(shí)， ，即，

由，得；由，得，

所以當(dāng)時(shí)，有極小值.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以，要證 ，只需證.

令，則，且，得； ，得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

∴，即恒成立,

∴對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有 恒成立.

（Ⅲ）令，則，注意到，

由（Ⅱ）知恒成立，故，

①當(dāng)時(shí)， ， ，

于是當(dāng)時(shí)， ，即成立.

②當(dāng)時(shí)，由（）可得（）.

，

故當(dāng)時(shí)， ，

于是當(dāng)時(shí)， ， 不成立.

綜上， 的取值范圍為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4－5：不等式選講

設(shè)函數(shù).

（1）求解不等式的解集；

（2）若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】高二年級(jí)的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組在網(wǎng)上查知，某珍貴植物種子在一定條件下發(fā)芽成功的概率為，該研究性學(xué)習(xí)小組又分成兩個(gè)小組進(jìn)行驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn).

（1）第1組做了5次這種植物種子的發(fā)芽實(shí)驗(yàn)（每次均種下一粒種子），求他們的實(shí)驗(yàn)至少有3次成功的概率；

（2）第二小組做了若干次發(fā)芽試驗(yàn)（每次均種下一粒種子），如果在一次實(shí)驗(yàn)中種子發(fā)芽成功就停止實(shí)驗(yàn)，否則將繼續(xù)進(jìn)行下次實(shí)驗(yàn)，直到種子發(fā)芽成功為止，但發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)最多不超過5次，求第二小組所做種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的概率分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，對(duì)任意的恒成立，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2015年12月，京津冀等地?cái)?shù)城市指數(shù)“爆表”，北方此輪污染為2015年以來最嚴(yán)重的污染過程，為了探究車流量與的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表：

時(shí)間

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期七

車流量（萬輛）

1

2

3

4

5

6

7

的濃度（微克/立方米）

28

30

35

41

49

56

62

（1）由散點(diǎn)圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；

的濃度；

（ii）規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi)，空氣質(zhì)量等級(jí)為良，為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？（結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)）

參考公式：回歸直線的方程是，其中， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個(gè)數(shù)字，這8個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)．每張卡片被取出的概率相等．

（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率；

（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某研究機(jī)構(gòu)追蹤40名小學(xué)畢業(yè)生隨年限與數(shù)學(xué)水平學(xué)習(xí)的情況.統(tǒng)計(jì)了年限與等級(jí)考試的平均成績(jī)，如下列數(shù)據(jù)：

學(xué)習(xí)年限

2

3

4

5

6

等級(jí)成績(jī)

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

（1）已知與滿足線性關(guān)系，試求年限與等級(jí)考試成績(jī)的線性回歸直線方程.（其中,）

（2）如果對(duì)40名學(xué)生“是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感興趣”進(jìn)行調(diào)查，初中生和高中生對(duì)數(shù)學(xué)的喜歡程度如下聯(lián)表（其中學(xué)習(xí)年限2年或3年的為初中階段，年限為4年或5年或6年的為高中階段）

喜歡

不喜歡

合計(jì)

初中生

8

12

20

高中生

16

4

20

合計(jì)

24

16

40

根據(jù)上表計(jì)算，并說明是否有的把握認(rèn)為“喜歡數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)年限有關(guān)”（其中 其中）

0.025

0.010

0.005

5.024

6.635

7.897

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項(xiàng)目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個(gè)人捐出10000步等價(jià)于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計(jì)該項(xiàng)目中其中200名的捐助情況表如下：

捐款金額(單位：元)

捐款人數(shù)

4

152

26

10

3

5

(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請(qǐng)?jiān)诂F(xiàn)有的“健康大使”中隨機(jī)抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；

(2)為鼓勵(lì)更多的人來參加這項(xiàng)活動(dòng)，該公司決定對(duì)捐款額在100元以上的用戶實(shí)行紅包獎(jiǎng)勵(lì)，具體獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包5元；捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包8元；捐款額在的獎(jiǎng)勵(lì)紅包10元；捐款額大于250的獎(jiǎng)勵(lì)紅包15元.已知該活動(dòng)參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計(jì)該公司要準(zhǔn)備的紅包總金額.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；

（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，試比較與的大小關(guān)系．

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