Question

11．已知f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2）時，f（x）＞0；x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）當實數(shù)c為何值時，關于x的不等式ax²+bx+c≤0的解集為R．
（3）解關于x的不等式f（x）＜3（2+m）（3-m），（m∈R）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式的性質(zhì)得到-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)之間的關系即可求y=f（x）的解析式；
（2）根據(jù)不等式ax²+bx+c≤0的解集為R轉(zhuǎn)化為判別式△的關系進行求解即可．
（3）根據(jù)含有參數(shù)的一元二次不等式的解法進行求解即可．

解答 解：（1）由x∈（-3，2）時，f（x）＞0；x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0知：
-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根$\left\{\begin{array}{l}-3+2=-\frac{b-8}{a}\\-3×2=\frac{-a-ab}{a}\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=5\end{array}\right.$，（或用韋達定理），
∴f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由a＜0，知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象開口向下，
要使-3x²+5x+c≤0的解集為R，只需△≤0，
即25+12c≤0，∴$c≤-\frac{25}{12}$，
∴當$c≤-\frac{25}{12}$時ax²+bx+c≤0的解集為R．
（3）f（x）＜3（2+m）（3-m），（m∈R）即x²+x-m（m-1）＞0（x+m）（x-m+1）＞0，
對應方程的兩根為-m，m-1，
①當$m＞\frac{1}{2}$時x∈（-∞，-m）∪（m-1，+∞）；
②當$m=\frac{1}{2}$時$x∈（-∞，-\frac{1}{2}）∪（-\frac{1}{2}，+∞）$；
③當$m＜\frac{1}{2}$時x∈（-∞，m-1）∪（-m，+∞）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)一元二次不等式和一元二次函數(shù)之間是關系是解決本題的關鍵．