Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），a₁=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對(duì)a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺）變形可知a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N⁺），進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過a_n=2^n-1+1可知na_n=n•2^n-1+n，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n-1（n∈N⁺），
∴a_n+1-1=2（a_n-1）（n∈N⁺），
又∵a₁-1=2-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n-1=1•2^n-1=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1；
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1+1，
∴na_n=n•2^n-1+n，
設(shè)T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
則2T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減得：-T_n=2⁰+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ
=-1-（n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1+（n-1）•2ⁿ，
∴S_n=1+（n-1）•2ⁿ+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．