Question

圓C的半徑為1，過(guò)圓外的點(diǎn)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B．則

PA

•

PB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．由于

OA

⊥

PA

，可得

OA

•

PA

=0，得到cosθ=

1

m

．于是

PA

•

PB

=m2+

2

m2

-3，再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：如圖所示，
不妨取P（m，0），A（cosθ，sinθ），B（cosθ，-sinθ）．（θ∈（0，π））．
∵

OA

⊥

PA

，∴

OA

•

PA

=（cosθ，sinθ）•（cosθ-m，sinθ）=cosθ（cosθ-m）+sin²θ=0，
化為cosθ=

1

m

．
∴

PA

•

PB

=（cosθ-m，sinθ）•（cosθ-m，-sinθ）
=（cosθ-m）²-sin²θ
=2cos²θ+m²-3
=m2+

2

m2

-3≥2

m2• 2 m2

-3=2

2

-3，當(dāng)且僅當(dāng)m2=

2

時(shí)取等號(hào)．
∴

PA

•

PB

的最小值為2

2

-3．
故答案為：2

2

-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．