Question

19．如圖所示，球O的球心O在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的原點(diǎn)，半徑為1，且球O分別與x，y，z軸的正半軸交于A，B，C三點(diǎn)．已知球面上一點(diǎn)$D（{0，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$．
（1）求D，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離；
（2）求直線CD與平面ABC所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出球心角，即可求D，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離；
（2）求出平面ABC的法向量，即可求直線CD與平面ABC所成角的大�。�

解答 解：（1）由題意，cos∠COD=$\frac{\frac{1}{2}}{1×1}$=$\frac{1}{2}$，∴∠COD=$\frac{π}{3}$，
∴D，C兩點(diǎn)在球O上的球面距離為$DC=\frac{π}{3}$；
（2）A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），重心坐標(biāo)為（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵$\overrightarrow{CD}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴直線CD與平面ABC所成角的正弦=|$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{6}}{1•\frac{\sqrt{3}}{3}}$|=$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$，
∴直線CD與平面ABC所成角的大小為$θ=arcsin\frac{{3+\sqrt{3}}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球面距離，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．