Question

13．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四邊形BFED是以BD為直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在線段EF上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{28}$．若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推出AB=2，求解AB²=AD²+BD²，證明BD⊥AD，然后證明AD⊥平面BFED．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面EAD的一個(gè)法向量，平面PAB的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，
∴故 AB=2，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
∴AB²=AD²+BD²
∴BD⊥AD，
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，
∴AD⊥平面BFED．…（5分）
（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，
以D為原點(diǎn)，分別以DA，DE，DE為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，λ，$2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ$），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=$（0，λ-\sqrt{3}，2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ）$．
取平面EAD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{m}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{m}$=0得：$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y=0}\\{（λ-\sqrt{3}）y+（2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ）z=0}\end{array}\right.$，取y=1，可得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{\sqrt{3}-λ}{2-\frac{\sqrt{3}}{2}λ}$）．
∵二面角A-PD-C為銳二面角，平面PAB與平面ADE所成的銳二面角的余弦值為$\frac{5\sqrt{7}}{28}$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3+1+（\frac{\sqrt{3}-λ}{2-\frac{\sqrt{3}}{3}λ}）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{28}$，
解得λ=$\frac{1}{3}$，即P為線段EF的3等分點(diǎn)靠近點(diǎn)E的位置．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．