Question

10．已知如圖，圓C、橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）均經(jīng)過點(diǎn)M（2，$\sqrt{2}$），圓k的圓心為（$\frac{5}{2}$，0），橢圓E的兩焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
（Ⅰ）分別求圓C和橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過F₁作直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，試探究|F₁A|•|F₂B|是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意知圓C的半徑$r=\sqrt{{{（{2-\frac{5}{2}}）}^2}+2}=\frac{3}{2}$，可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．由橢圓的定義得：2a=|MF₁|+|MF₂|，
即$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+2}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+2}=4\sqrt{2}$，及其b²=a²-c²即可得出．
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)為k，則l的方程為y=k（x+2），與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+k²）x²+（4k²-5）x+4（k²+1）=0，設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系及其$|{{F_2}A}|•|{{F_2}B}|=\sqrt{[{{{（{{x_1}-2}）}^2}+y_1^2}][{{{（{{x_2}-2}）}^2}+y_2^2}]}$，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）依題意知圓C的半徑$r=\sqrt{{{（{2-\frac{5}{2}}）}^2}+2}=\frac{3}{2}$，------------------------------------（1分）
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：${（{x-\frac{5}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{9}{4}$；-------------------------------------------------------------（2分）
∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$過點(diǎn)M$（{2，\sqrt{2}}）$，且焦點(diǎn)為（-2，0）、（2，0），
由橢圓的定義得：2a=|MF₁|+|MF₂|，
即$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+2}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+2}=4\sqrt{2}$，----------------------------------------------------------（4分）
∴a²=8，b²=a²-4=4，
∴橢圓E的方程為：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$-----------------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)為k，則l的方程為y=k（x+2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（{x+2}）}\\{{{（{x-\frac{5}{2}}）}^2}+{y^2}=\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$消去y得：（1+k²）x²+（4k²-5）x+4（k²+1）=0，-----------------------------------------------------------------（8分）
顯然△＞0有解，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁x₂=4，------------------------------------------------------------------（9分）$|{{F_2}A}|•|{{F_2}B}|=\sqrt{[{{{（{{x_1}-2}）}^2}+y_1^2}][{{{（{{x_2}-2}）}^2}+y_2^2}]}$=$\sqrt{[（{x}_{1}-2）^{2}+\frac{9}{4}-（{x}_{1}-\frac{5}{2}）^{2}][（{x}_{2}-2）^{2}+\frac{9}{4}-（{x}_{1}-\frac{5}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{{x_1}{x_2}}=2$．
故|F₂A|•|F₂B|為定值，其值為2．----------------------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．