Question

1．如果對(duì)定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），對(duì)區(qū)間D內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x${\;}_{{\;}_{1}}$f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)及函數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間
①y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x∈R）
②y=3x+cosx-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）
③f（x）=（x+1）e^-x，x∈（-∞，1）
④f（x）=xlnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$）
以上函數(shù)為區(qū)間D上的“H函數(shù)”的序號(hào)是①②（寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
①y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，（x∈R），
y′=x²-x+$\frac{1}{2}$＞0，函數(shù)遞增，
②y=3x+cosx-sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
y′=3-sinx-cosx=3-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函數(shù)遞增，
③f（x）=（x+1）e^-x，x∈（-∞，1），
f′（x）=$\frac{x+2}{{e}^{x}}$，
顯然函數(shù)在（-∞，-2）遞增，在（-2，1）遞減，
④f（x）=xlnx，x∈（0，$\frac{1}{e}$）
f′（x）=lnx+1＜0，函數(shù)遞減，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．