Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=aⁿx²+bⁿx+nc（ab≠0，n∈N₊）．
（1）若a，b，c均為整數(shù)，且f₁（0），f₁（1）均為奇數(shù)，求證：f₁（x）=0沒(méi)有整數(shù)根．
（2）若a，b為兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：數(shù)列{f_n（1）-nc}不是等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用反證法．假設(shè)f₁（x）=0有整數(shù)根n（n∈Z），由條件可判斷a，b，c的奇偶性，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，即可得證；
（2）運(yùn)用反證法證明．假設(shè)數(shù)列{aⁿ+bⁿ}為等比數(shù)列，取前三項(xiàng)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)得到方程，解得即可判斷．

解答： 證明：（1）假設(shè)f₁（x）=0有整數(shù)根n（n∈Z），則an²+bn+c=0．
由題設(shè)f₁（0），f₁（1）均為奇數(shù)，知c為奇數(shù)，a+b為偶數(shù)，a與b的奇偶性相同．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an²+bn為偶數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an²+bn也為偶數(shù)，
所以an²+bn+c為奇數(shù)，這與an²+bn+c=0矛盾．
故假設(shè)錯(cuò)誤，即f₁（x）=0無(wú)整數(shù)根．
（2）由題設(shè)知f_n（1）-nc=aⁿ+bⁿ，假設(shè)數(shù)列{aⁿ+bⁿ}為等比數(shù)列，
取該數(shù)列的前三項(xiàng)a+b，a²+b²，a³+b³，
則有（a²+b²）²=（a+b）（a³+b³），
即2ab=a²+b²，得（a-b）²=0，即a=b，
這與已知a，b為兩不相等的實(shí)數(shù)矛盾．
所以數(shù)列{f_n（1）-nc}不是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查反證法的運(yùn)用，考查推理判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．