Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2（n∈N^*），則使a₂₀₁₅＞2015成立的正整數(shù)a₁的一個值為2015．

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{$（{a}_{n}+1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求得通項后再由a₂₀₁₅＞2015求得正整數(shù)a₁的一個值．

解答 解：由（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2，得
$（{a}_{n+1}-1）^{2}=（{a}_{n}-1）^{2}+1$，
則數(shù)列{$（{a}_{n}+1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴$（{a}_{n}-1）^{2}=（{a}_{1}-1）^{2}+n-1$，
則${a}_{n}-1=±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
即${a}_{n}=1±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
取${a}_{n}=1+\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
由a₂₀₁₅＞2015，得$1+\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2014}＞2015$，
即$（{a}_{1}-1）^{2}＞2014×2013$，
∵a₁是正整數(shù)，∴a₁≥2015．
故答案為：2015．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．