Question

10．一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫(xiě)著1個(gè)數(shù)字，這8個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)．每張卡片被取出的概率相等．
（1）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是奇數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫(xiě)著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）直接利用古典概型的概率公式求解即可．
（2）從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當(dāng)取到一張記有偶數(shù)的卡片即停止抽取，由題意知抽取的次數(shù)可能的取值是1、2、3、4，求出概率的分布列，然后求解期望．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）記事件A為“任取2張卡片，將卡片上的數(shù)字相加得到的新數(shù)是奇數(shù)”，…（1分）
因?yàn)槠鏀?shù)加偶數(shù)可得奇數(shù)，所以$P（A）=\frac{C_3^1•C_5^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}$
所以所得新數(shù)是奇數(shù)的概率等于$\frac{15}{28}$． …（4分）
（2）ξ所有可能的取值為1，2，3，4，…（5分）
根據(jù)題意得P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{1}}=\frac{5}{8}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{7}^{1}}=\frac{15}{56}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{1}}=\frac{5}{56}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{7}^{1}}•\frac{{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}}•\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{5}^{1}}=\frac{1}{56}$…（9分）
故t=3的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

…（10分）
E（ξ）=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{5}{56}+4×\frac{1}{56}=\frac{3}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查排列組合、古典概型、隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．