Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）有極值-1，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值，進(jìn)而求得a；
（Ⅱ）求出函數(shù)G（x）的導(dǎo)數(shù)，由于G（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，可得-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$≥0在（0，1）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）x＞0，F(xiàn)′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）遞減，無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，由F′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{a}$，由F′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，
x=$\frac{1}{a}$取得極小值．
由F（x）有極值-1，即有1-ln$\frac{1}{a}$=-1，
解得a=$\frac{1}{{e}^{2}}$；
（Ⅱ）G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
G′（x）=-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$，G（x）在（0，1）上遞增，
即有-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$≥0在（0，1）上恒成立，
即a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$在（0，1）上恒成立．
令h（x）=xcos（1-x），0＜x＜1，
h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
h（x）在（0，1）遞增，0＜xcos（1-x）＜1，
即有$\frac{1}{xcos（1-x）}$＞1，
則有a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．