Question

9．設(shè)f₀（x）=|x|-10，f_n（x）=|f_n-1（x）|-1（n∈N^*），則函數(shù)y=f₂₀（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 19
• B． 20
• C． 31
• D． 22

Answer 1

分析 令f_n（x）=|f_n-1（x）|-1=0，則|f_n-1（x）|=1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程|f_n-1（x）|=1的根的個(gè)數(shù)，找出規(guī)律：當(dāng)0≤n≤9時(shí)y=f_n（x）=0時(shí)的解的個(gè)數(shù)為2（n+1）=2n+2個(gè)、當(dāng)n≥10時(shí)y=f_n（x）=0時(shí)的解的個(gè)數(shù)為21+（n-10）=11+n個(gè)，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：依題意，令f₀（x）=0，則|x|-10=0，
∴x有2個(gè)解±10；
當(dāng)f₁（x）=0時(shí)，即|f₀（x）|-1=0，
∴|x|-10=±1，即x有4個(gè)解：±9、±11；
當(dāng)f₂（x）=0時(shí)，即|f₁（x）|-1=0，
∴|f₀（x）|-1=±1，即|x|-10=0、±2，
∴x有6個(gè)解：±8、±10、±12；
…
當(dāng)f₉（x）=0時(shí)，x有20個(gè)解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；
當(dāng)f₁₀（x）=0時(shí)，x有21個(gè)解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；
當(dāng)f₁₁（x）=0時(shí)，x有22個(gè)解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；
當(dāng)f₁₂（x）=0時(shí)，x有23個(gè)解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；
∴當(dāng)0≤n≤9時(shí)，y=f_n（x）=0時(shí)的解的個(gè)數(shù)為2（n+1）=2n+2個(gè)，
當(dāng)n≥10時(shí)，y=f_n（x）=0時(shí)的解的個(gè)數(shù)為21+（n-10）=11+n個(gè)，
∴函數(shù)y=f₂₀（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為11+20=31個(gè)．


附：
y=f₂₀（x）=0，
即f₂₀（x）=|f₁₉（x）|-1=0，
即f₁₉（x）=|f₁₈（x）|-1=±1，
即f₁₈（x）=|f₁₇（x）|-1=0、2，
即f₁₇（x）=|f₁₆（x）|-1=±1、3，
即f₁₆（x）=|f₁₅（x）|-1=0、2、4，
即f₁₅（x）=|f₁₄（x）|-1=±1、3、5，
即f₁₄（x）=|f₁₃（x）|-1=0、2、4、6，
即f₁₃（x）=|f₁₂（x）|-1=±1、3、5、7，
即f₁₂（x）=|f₁₁（x）|-1=0、2、4、6、8，
即f₁₁（x）=|f₁₀（x）|-1=±1、3、5、7、9，
即f₁₀（x）=|f₉（x）|-1=0、2、4、6、8、10，
即f₉（x）=|f₈（x）|-1=±1、3、5、7、9、11，
即f₈（x）=|f₇（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12，
即f₇（x）=|f₆（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13，
即f₆（x）=|f₅（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14，
即f₅（x）=|f₄（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15，
即f₄（x）=|f₃（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，
即f₃（x）=|f₂（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，
即f₂（x）=|f₁（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，
即f₁（x）=|f₀（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，
即f₀（x）=|x|-10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，
解得：x=0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，
∴函數(shù)y=f₂₀（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為31個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意條件中的遞推關(guān)系，屬于中檔題．