Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

x-a

x

，其中a為常數(shù)，且a＞0．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直，求函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為

1

3

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求出導數(shù)，由直線垂直的條件得f'（1）=-1，即可得到a，再令導數(shù)小于0，解出即可，注意定義域；
（2）對a討論，①當0＜a≤1時，②當1＜a＜3時，③當a≥3時，運用導數(shù)判斷單調性，求出最小值，解方程，即可得到a的值．

解答： 解：f′(x)=

1

x

-

x-(x-a)

x2

=

x-a

x2

（x＞0），
（1）因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=x+1垂直，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1解得a=2；
當a=2時，f(x)=lnx-

x-2

x

，f′(x)=

x-2

x2

．
令f′(x)=

x-2

x2

＜0，解得0＜x＜2，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為（0，2）；
（2）①當0＜a≤1時，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，
這時f（x）在[1，3]上為增函數(shù)
則f（x）_min=f（1）=a-1
令 a-1=

1

3

，得a=

4

3

＞1（舍去），
②當1＜a＜3時，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）
由于對于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)，
對于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上為增函數(shù)，
則f（x）_min=f（a）=lna，
令lna=

1

3

，得a=e

1

3

，
③當a≥3時，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，這時f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
故f′(x)min=f(3)=ln3+

a

3

-1．
令ln3+

a

3

-1=

1

3

得 a=4-3ln3＜2（舍去）
綜上，a=e

1

3

．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調區(qū)間、求極值和最值，考查兩直線垂直的條件，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．